Решение задачи №14 из банка заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень)

В прямоугольном параллелепипеде $\displaystyle ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ стороны оснований $AB$ и $BC$ равны соответственно 8 и 5, а боковое ребро $\displaystyle AA_{1}$ равно 4. На ребре $\displaystyle A_{1}B_{1}$ отмечена точка $K$ , а на луче $BC$ — точка $F$ , причём $\displaystyle A_{1}K=KB_{1}$ и $BF=AB$ . Плоскость $AKF$ пересекает ребро $\displaystyle B_{1}C_{1}$ в точке $P$ .
а) Докажите, что $\displaystyle B_{1}P:PC_{1}=4:1$ .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $AKF$ .

Решение.
а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью

$AKP$ (см. рис. 1).

$E$ — точка пересечения ребра

$OC$ и отрезка

$AE$ .
В плоскости

$\displaystyle ABB_{1}$ проведём лучи

$AK$ и

$\displaystyle BB_{1}$ ,

$AK$ пересекает

$\displaystyle BB_{1}$ в точке

$\displaystyle Q$ . В плоскости

$\displaystyle BCC_{1}$ проведём отрезок

$FQ$ ,

$FQ$ пересекает

$\displaystyle B_{1}C_{1}$ в точке

$P$ , а

$\displaystyle CC_{1}$ — в точке

$R$ . Пятиугольник

$\displaystyle AKPRE$ — искомое сечение.

$\displaystyle KB_{1}\parallel AB,\: KB_{1}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}$ , значит,

$\displaystyle KB_{1}$ — средняя линия

$\displaystyle \bigtriangleup ABQ$ , отсюда

$\displaystyle BB_{1}=QB_{1}$ , а так как

$\displaystyle BF\parallel B_{1}P$ , то

$\displaystyle B_{1}P$ — средняя линия

$\displaystyle \bigtriangleup FBQ$ ,

Решение задачи №14 из банка заданий ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Рис.1

$\displaystyle BF=8,\: B_{1}P=\frac{1}{2}BF=4;\: C_{1}P=B_{1}C_{1}-B_{1}P=5-4=1,$
следовательно, $\displaystyle B_{1}P:PC_{1}=4:1.$
б) Прямоугольные треугольники $\displaystyle ABQ,\: FBQ$ и $\displaystyle ABF$ равны по двум катетам $\displaystyle AB=BF=BQ=8$ , отсюда $\displaystyle AQ=AF=QF=8\sqrt{2}.$
$\displaystyle S_{AQF}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ как площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ . $\displaystyle S_{AQF}=\frac{(8\sqrt{2})^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3},\: S_{KQP}=\frac{1}{4}S_{AQF}=\frac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}.$
$\displaystyle S_{AKPF}=S_{AQF}-S_{KQP}=32\sqrt{3}-8\sqrt{3}=24\sqrt{3}.$
$\displaystyle \bigtriangleup RCF\sim \bigtriangleup RC_{1}P$ по первому признаку подобия ( $\displaystyle \angle C=\angle C_{1}=90^{\circ}$ , $\displaystyle \angle 1=\angle 2$ - как вертикальные). Из подобия следует, $\displaystyle \frac{CF}{PC_{1}}=\frac{FR}{PR}$ . По доказанному в а), $\displaystyle PC_{1}=1,\: BF=AB=8$ , тогда $\displaystyle CF=8-5=3$ и $\displaystyle \frac{FR}{PR}=\frac{3}{1}$ . Так как $KP$ - средняя линия $\displaystyle \bigtriangleup AQF$ , то $\displaystyle PF=\frac{1}{2}QF=4\sqrt{2},\: FR=\frac{3PF}{4}=\frac{4\sqrt{2}\cdot 3}{4}=3\sqrt{2}.$
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $FCE$ $\displaystyle FC=EC=3$ , тогда $\displaystyle EF=3\sqrt{2}$ .
В $\displaystyle \bigtriangleup REF \; FR=EF=3\sqrt{2},\: \angle RFE=60^{\circ}$ , отсюда
$\displaystyle \bigtriangleup REF$ — равносторонний. $\displaystyle S_{REF}=\frac{(3\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{2}.$
$\displaystyle S_{AKPRE}=S_{AKPF}-S_{REF}=24\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{39\sqrt{3}}{2}.$
Ответ: $\displaystyle \frac{39\sqrt{3}}{2}.$